\(1-\dfrac{3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+2\right)-3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1.5}{2.4}.\dfrac{2.6}{3.5}.\dfrac{3.7}{4.6}...\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)

\(=\dfrac{1.2.3...\left(n-1\right)}{2.3.4...n}.\dfrac{5.6.7...\left(n+3\right)}{4.5.6...\left(n+2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{n}.\dfrac{n+3}{4}=\dfrac{n+3}{4n}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4n}>\dfrac{1}{4}\) (đpcm)

Xét \(n^2+1=n^2+mn+np+pm=n\left(m+n\right)+p\left(m+n\right)=\left(m+n\right)\left(n+p\right)\)

Tương tự: \(m^2+1=\left(m+n\right)\left(m+p\right)\)

\(p^2+1=\left(p+m\right)\left(p+n\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}=\dfrac{\left(n+p\right)^2\left(m+n\right)\left(m+p\right)}{\left(m+n\right)\left(m+p\right)}\)

\(=\left(n+p\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}}=n+p\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{\left(p^2+1\right)\left(m^2+1\right)}{n^2+1}}=m+p\)

\(\sqrt{\dfrac{\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right)}{p^2+1}}=m+n\)

\(\Rightarrow B=m\left(n+p\right)+n\left(m+p\right)+p\left(m+n\right)\)

\(=2\left(mn+np+pm\right)=2\)

Vậy B=2

- Với \(m=\left\{-2;-1;0\right\}\Rightarrow n=0\)

- Với \(m< -2\Rightarrow m\left(m+1\right)\left(m+2\right)< 0\) (ktm)

- Với \(m>0\):

\(m\left(m+1\right)\left(m+2\right)=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(m+1;m^2+2m\right)\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(m+1\right)-\left(m^2+2m\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Mà \(\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)=n^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1=a^2\\m^2+2m=b^2\end{matrix}\right.\)

Từ \(m^2+2m=b^2\Rightarrow\left(m+1\right)^2-b^2=1\)

\(\Rightarrow\left(m+1-b\right)\left(m+1+b\right)=1\)

Tới đây chắc dễ rồi

c)\(7^{2n}+7^{2n+2}=2450\)

⇒\(7^{2n}+7^{2n}.7^2=2450\)

⇒\(7^{2n}.50=2450\)

⇒\(7^{2n}=49\)\(=7^2\)

⇒2n=2

⇒n=1

a)\(\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n=-\dfrac{1}{125}\)                   b)\(\left(-\dfrac{2}{11}\right)^m=\dfrac{4}{121}\)

\(\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n=\left(-\dfrac{1}{5}\right)^3\)                    \(=\left(-\dfrac{2}{11}\right)^m=\left(-\dfrac{2}{11}\right)^2\)

⇒n=3                                          ⇒m=2

câu 2: 

a) Trước tiên ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy nếu f (n1) = f (n2) thì

f (f(n1) + m) = f (f(n2) + m)
→n1 + f(m + 2003) = n2 + f(m + 2003) → n1 = n2

b) Thay m = f(1) ta có

f (f(n) + f(1)) = n + f (f(1) + 2003)
= n + 1 + f(2003 + 2003)
= f (f(n + 1) + 2003)

Vì f đơn ánh nên f(n)+f(1) = f(n+1)+2003 hay f(n+1) = f(n)+f(1)−2003. Điều này dẫn đến
f(n + 1) − f(n) = f(1) − 2003, tức f(n) có dạng như một cấp số cộng, với công sai là f(1) − 2003,
số hạng đầu tiên là f(1). Vậy f(n) có dạng f(n) = f(1) + (n − 1) (f(1) − 2003), tức f(n) = an + b.
Thay vào quan hệ hàm ta được f(n) = n + 2003, ∀n ∈ Z
+.